statmath

حل المعادلة التفاضلية
(E: Solution of Differential Equation)
(T: Diferansiyel Denklemin Çözümü )

ندعو الدالة  \(y=y(x)\) حل المعادلة التفاضلية  \[f(x,y,\acute y,\acute {\acute y}, \cdots ,y^{(n)})=0\] إذا حققت الشروط الآتية:
1- الدالة \(y=y(x)\) قابلة للاشتقاق  \(n\) مرة.
2- الدالة \(y=y(x)\) تحقق المعادلة التفاضلية \[f(x,y,\acute y,\acute {\acute y}, \cdots ,y^{(n)})=0\]

مثال 1 : بما أن الحل \(y=2x^2\) يحقق المعادلة التفاضلية \(\acute y=4x\) وبالتالي فإن \(y=2x^2\) حل المعادلة التفاضلية (\acute y=4x\)\
نلاحظ أن الدالة \(y=2x^2\) تقبل الأشتقاق مرة واحدة كما أنها تحقق المعادلة التفاضلية \(\acute y=4x\) وذلك لأن مشتق الدالة \(y\) هو \(4x\)وبالتالي بالتعويض في المعادلة التفاضلية نجد أن \(4x=4x\) أي أن الدالة \(y=2x^2\) تحقق المعادلة التفاضلية \(\acute y=4x\) وبالتالي تكون الدالة \(y=2x^2\) حل لهذه المعادلة التفاضلية.

مثال 2 : أثبت أن الحل \(y=e^{-x}\) هو حل للمعادلة التفاضلية التالية:
\[y+\acute y=0\]
الحل: لإثبات أن الحل \(y=e^{-x}\) هو حل المعادلة التفاضلية \(y+\acute y=0\) يجب أن نوجد المشتق \(\acute y\) ثم نعوض كل من \(\ y\) و \(\acute y\) في المعادلة التفاضلية بالشكل الآتي:
\[y=e^{-x} \Rightarrow \acute y=-e^{-x}\]
بالتعويض في المعادلة التفاضلية نجد:
\[y+\acute y= e^{-x}- e^{-x}=0\]
بما أن الحل \(y=e^{-x}\) يحقق المعادلة التفاضلية \(y+\acute y=0\) وبالتالي فهو حل لها.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى

المعادلة التفاضلية العادية
(E:Ordinary Differential Equation)
(T: Adi Differansiyel Denklem)

لتكن لدينا الدالة المجهولة \(y=y(x)\) ندعو كل معادلة تحتوي على المتغير   \( x\) والدالة   \( y\) وواحد أو أكثر من مشتقات الدالة  \( y\)  بالمعادلة التفاضلية العادية أي هي معادلة من الشكل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
f(x,y,\acute y,\acute {\acute y}, \cdots ,y^{(n)})=0
}
$$
حيث \(\acute y\) هو مشتق الدالة  \( y\) من المرتبة الأولى.
و \(\acute {\acute y}\) هو مشتق الدالة  \( y\) من المرتبة الثانية
و \(y^{(n)}\) هو مشتق الدالة  \( y\) من المرتبة \(n\).

ملاحظة: في المعادلة التفاضلية قد لا تكون \( x\)  أو \( y\)  موجودة لكن حتماً يجب أن تكون إحدى مشتقات  \( y\) موجودة.

أمثلة:
\[y+\acute y+x=0\]
\[4y+x\acute {\acute y}=13\]
\[xy-y^{(3)}=0\]
\[y^{(n)}=0\]
\[y\acute y=0\]
\[y^{(4)}+1=0\]
\[y^{(4)}+ y^{(2)}-3=0\]
\[ \acute y=x\]

مقالات ذات صلة
حل المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى