تحليل 1

مبرهنة الحصر للمتتاليات
(E: Squeeze theorem)
(E: Sandwich theorem)
(T: Sıkıştırma Teoremi)

لتكن لدينا المتتاليات \(s_1(n),s_2(n),s_3(n)\) بحيث أن:
\[\forall n \in \Bbb N:s_1(n)\le s_2(n) \le s_3(n)\]
عندئذً إذا كان:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)=\lim_{n \rightarrow \infty }s_3(n)=a\]
فإن:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }s_2(n)=a\]

مثال: أوجد نهاية المتتالية:
\[s(n)=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\]
الحل:
نلاحظ أن:
\[\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\lt s(n) \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\]
وبالتالي:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\lt \lim_{n \rightarrow \infty } s(n) \le \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\]
بما أن:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1\]
فإنه بحسب مبرهنة الإحاطة :
\[\lim_{n \rightarrow \infty } s(n)=1\]

مقالات ذات صلة:
تعريف المتتالية
تعريف المتتالية الجزئية
متتالية كوشي
تقارب متتالية
العمليات على النهايات

العمليات على النهايات
(T: Limitlerde İşlemler)
(E: Operation on Limits)

لتكن لدينا متتالية \(s_1(n)\) متقاربة من عدد \(a\) ولتكن لدينا متتالية \(s_2(n)\) متقاربة من عدد \(b\) عندئذٍ:
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\left(s_1(n)+s_2(n)\right)=\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)+\lim_{n \rightarrow \infty }s_2(n)=a+b\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\left(s_1(n)-s_2(n)\right)=\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)-\lim_{n \rightarrow \infty }s_2(n)=a-b\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\left(s_1(n)\cdot s_2(n)\right)=\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)\cdot \lim_{n \rightarrow \infty }s_2(n)=a\cdot b\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{s_1(n)}{ s_2(n)}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)}{\lim_{n \rightarrow \infty }s_2(n)}=\frac{a}{b}, ~~b\neq 0\]
\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left(k\cdot s_1(n)\right)=k \cdot \lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)=k \cdot a~~,~~ k \in \Bbb R\]
\[\lim_{n \rightarrow \infty }\left(s_1(n)\right)^k=\left(\lim_{n \rightarrow \infty }s_1(n)\right)^k=a^k~~,~~ k \in \Bbb R\]

مقالات ذات صلة:
تعريف المتتالية العددية
تقارب متتالية
تعريف المتتالية الجزئية
متتالية كوشي