تحليل 1

نهايات شهيرة
( E: Common limits )

\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac 1n=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {\ln n}{n}=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} a^n=0~,~|a|\lt1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} a^n=+\infty~,~a\gt1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} 1^n=1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots+a_1n+a_0}{{b_\ell n^\ell+b_{\ell-1}n^{\ell-1}+\cdots+b_1n+b_0}}=\begin{cases}
\frac{a_k}{b_\ell}~~,~k=\ell\\
\pm\infty~~k\gt\ell\\
0~~~~k \lt \ell
\end{cases}\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {1}{n^p}=0~,~p\gt0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} n^{\frac1n}=lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt [n]n=1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt [n]a=1~,~a\gt0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{\ln n}{\sqrt [n]n}=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}(1+\frac 1n)^n=e\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}(1-\frac 1n)^n=\frac1e\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}(1+\frac an)^n=e^a\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {n}{\sqrt [n]{n!}}=e\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}n\cdot a^n=0~,~|a|\lt1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} n!=+\infty\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt [n]{n!}=+\infty\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {a^n}{n!}=0~,~a\gt1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {n!}{n^n}=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} n\sin \frac 1n=1\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {\sin n}{n}=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {\cos n}{n}=0\]
\[lim_{n \rightarrow +\infty} \frac {\ln n}{n}=0\]
\[\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0\]
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty\]
\[lim_{x \rightarrow -\infty} x^n\cdot e^x=0\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} x^n\cdot e^{-x}=0\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x}=0\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}{\rightarrow} 0}\ln x=-\infty\]
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln x=+\infty\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln x}{x^n}=0\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} x\cdot\ln x=0\]
\[lim_{x \rightarrow 0} x\cdot e^x=0\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x}=1\]
\[lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x-1}=1\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a\]
\[lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x^a}{b^x}=0\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow 0}x^x =1\]
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}x^{\frac 1x} =1\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac {\sin x}{x}=1\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac {\tan x}{x}=1\]
\[lim_{x \rightarrow 0} \frac {1-\cos x}{x}=0\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow \frac {\pi}{2}+\pi k}\tan x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow \frac {\pi}{2}+\pi k}\tan x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow \pi k}\cot x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow \pi k}\cot x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow \frac {\pi}{2}+2\pi k}\sec x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow \frac {\pi}{2}+2\pi k}\sec x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow \frac {3\pi}{2}+2\pi k}\sec x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow \frac {3\pi}{2}+2\pi k}\sec x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow 2\pi k}\csc x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow2\pi k}\csc x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow \pi+2\pi k}\csc x =+\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow \pi+2\pi k}\csc x =-\infty~,~k \in \Bbb Z\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\arcsin x }{x}=1\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty}\arctan x =-\frac{\pi}{2}\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty}\arctan x =\frac{\pi}{2}\]
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\arctan x }{x}=1\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} arccot ~x =\pi\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} arccot ~x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} arcsec ~x =\frac{\pi}{2}\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} arcsec ~x =\frac{\pi}{2}\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} arccsc ~x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} arccsc ~x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \sinh x =-\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \sinh x =+\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \cosh x =+\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \cosh x =+\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \tanh x =-1\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \tanh x =+1\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} \coth x =-1\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} \coth x =1\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow 0}\coth x =-\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow 0}\coth x =+\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} sech~ x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} sech ~x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} csch ~x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} csch ~x=0\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow 0}csch ~x =-\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow 0} csch ~x =+\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} arcsinh ~x =-\infty\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} arcsinh ~ x =+\infty\]
\[ \lim_{x \rightarrow +\infty} arccosh ~ x =+\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow -1} arctanh~ x =-\infty\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow 1}arctanh~ x =+\infty\]
\[ \lim_{x \rightarrow -\infty} arccoth ~ x =0\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} arccoth ~ x =0\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow -1} arctanh~ x =-\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow 1}arctanh~ x =+\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow0} arcsech~ x =+\infty\]
\[\lim_{x\overset{\lt}\rightarrow 0} arccsch~ x =-\infty\]
\[\lim_{x\overset{\gt}\rightarrow 0} arccsch~ x =+\infty\]

مقالات ذات صلة:
تعريف المتتالية العددية
تقارب متتالية
تعريف المتتالية الجزئية
تعريف المتتالية المحدودة
متتالية كوشي
العمليات على النهايات
مبرهنة الحصر للمتتاليات
العمليات على النهايات
حالات عدم التعيين
قاعدة أوبيتال
نهاية تابع
تعريف التابع الأسي \(e^x\)
تعريف التابع اللوغاريتمي \(\ln x\)
تعريف التابع المثلثي \(\sin x \)
تعريف التابع المثلثي \(\cos x \)
تعريف التابع المثلثي \(\tan x\)
تعريف التابع المثلثي \(\cot x\)
تعريف التابع المثلثي \(\sec x\)
تعريف التابع المثلثي \(\csc x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(\arcsin x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(\arccos x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(\arctan x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(arccot ~x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(arcsec ~x\)
تعريف التابع المثلثي العكسي \(arccsc ~x\)
تعريف التابع القطعي \(\sinh x\)
تعريف التابع القطعي \(\cosh x\)
تعريف التابع القطعي \(\tanh x\)
تعريف التابع القطعي \(\coth x\)
تعريف التابع القطعي \(sech ~x\)
تعريف التابع القطعي \(csch~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arcsinh~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arccosh~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arctanh~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arccoth~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arcsech~ x\)
تعريف التابع القطعي العكسي \( arccsch~ x\)

دستور ثنائي الحد
( E: Binomial Theorem )
(T: Binom Açılımı )

\[(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {n\choose k} a^{n-k}b^k~,~n\in \Bbb N\]
\[{n\choose k}=\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}\]

مثال1:
\[(a+b)^3=\sum^3_{k=0} {3\choose k} a^{3-k}b^k={3\choose 0} a^3b^0\]
\[+{3\choose 1} a^2b^1+{3\choose 2} a^1b^2+{3\choose 3} a^0b^3\]
\[=a^3+3a^2b+\frac{3\cdot 2}{2}ab^2+b^3\]
\[=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\]
مثال2:
\[(a+b)^5=\sum^5_{k=0} {5\choose k} a^{5-k}b^k={5\choose 0} a^5b^0\]
\[+{5\choose 1} a^4b^1+{5\choose 2} a^3b^2+{5\choose 3} a^2b^3\]
\[+{5\choose 4} a^1b^4+{5\choose 5} a^5b^0\]
\[=a^5+5a^4b+\frac{5\cdot 4}{2}a^3b^2+\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2}a^2b^3\]
\[+\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4\cdot 3\cdot 2}ab^4+a^5\]
\[=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+a^5\]
مثال3:
\[(2x+1)^4=\sum^4_{k=0} {4\choose k} (2x)^{4-k}1^k=\sum^4_{k=0} {4\choose k} (2x)^{4-k}\]
\[={4\choose 0} (2x)^4+{4\choose 1} (2x)^3+{4\choose 2} (2x)^2\]
\[+{4\choose 3} (2x)^1+{4\choose 4} (2x)^0\]
\[= 16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\]

مقالات ذات صلة:
تعريف الحد الأدنى
تعريف الحد الأعلى
تعريف الحد الأدنى الأعظمي
تعريف الحد الأعلى الأصغري
تعريف العنصر الأكبر
تعريف العنصر الأصغر
 الجزء الصحيح للعدد الحقيقي
القيمة المطلقة \(|x|\)
خاصية أرخميدس