التفاضل والتكامل

القيمة المطلقة
(T: Mutlak Değer)
(E: Absolute Value)

ليكن \(x\) عدد حقيقي عندها القيمة المطلقة للعدد \(x\) نرمز له بالرمز \(|x|\) ويعطى بالشكل التالي:
\[|x|=\max(x,-x) =\begin{cases}
x~~~~,~x\ge 0 \\
-x~,~ \lt 0
\end{cases}
\]
خواص القيمة المطلقة: ليكن كل من \(x\) و \(y\) عدد حقيقي عندئذٍ:
1) \[|x| \le 0\].
2) \[|x|=0 \Leftrightarrow x=0\]
3) \[|x\cdot y|=|x|\cdot |y|\]
4) \[|\frac xy|=\frac {|x|}{|y|}\]
5) \[|x+y| \le |x|+|y| \]
6) \[|x-y| \ge ||x|-|y||\]

أمثلة:
\[|5|=5\]
\[|-4.5|=4.5\]
\[|-1|=1\]
\[|0|=0\]
\[|-0.1|=0.1\]
\[|\frac {-1}{6}|=\frac {1}{6}\]

مقالات ذات صلة:
الأعداد الحقيقية \(\Bbb R\)

علاقة التكافؤ
(T: Denklik Bağlantısı)
(E: Equivalence Relation)

لتكن لدينا المجموعة \(A\). ولتكن العلاقة \(R\) من \(A\) إلى \(A\) عندئذٍ نقول عن العلاقة \(R\) أنها علاقة تكافؤ (T: Denklik Bağlantısı) (E: Equivalence Relation) إذا حققت الشروط التالية:
1) العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية (T: Yansıma Özelliği) (E: Reflexive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x \in A: (x,x) \in R\]
2) العلاقة \(R\) علاقة تناظرية (T: Simetri Özelliği ) (E: Symmetric) على \(A\) أي أن:
\[ \forall x,y\in A:(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R\]
3) العلاقة \(R\) علاقة متعدية (T: Geçişme Özelliği) (T: Transitive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x,y,z \in A: (x,y) \in R,(y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R\]

مثال: لتكن لدينا المجموعة \(A=\{a,b,c,d\}\) . ولتكن لدينا العلاقة:
\[R=\{(a,a), (b,b), (c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(a,c), (c,a)\}\]
أثبت أن \(R\) علاقة تكافؤ على \(A\) .
الحل: 1) لنثبت أن \(R\) علاقة انعكاسية: نلاحظ أن:
\[(a,a), (b,b), (c,c),(d,d) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\).
2) لنثبت أن \(R\) علاقة تناظرية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,a) \in R\]
\[(b,c),(c,b) \in R\]
\[(a,c),(c,a) \in R\]
وبالتالي العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\) .
3) لنثبت أن \(R\) علاقة متعدية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,c),(a,c) \in R\]
\[(b,c), (c,a), (b,a) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة متعدية على \(A\) .
بما أن \(R\) علاقة انعكاسية ومتناظرة ومتعدية فهي علاقة تكافؤ.

مقالات ذات صلة:
علاقة الترتيب
تعريف العلاقة
الجداء الديكارتي