تحليل 2

تكامل التابع الكسري
( T: Rasyonal Fonksiyonun İntegralı )
(E: Integral of Rational Function)

\[\int \frac{1}{x}~dx=\ln x+c~~, ~,~c \in \Bbb R\]

مثال1:
أوجد تكامل التابع:
\[f(x)=\frac{4}{x}\]
بتطبيق خواص التكامل نجد أن:
\[\int \frac{4}{x}~dx=4 \cdot\int \frac{1}{x}~dx=4 \cdot \ln x+c~~, ~c \in \Bbb R\]

\[\int \frac{\acute f(x)}{f(x)}~dx=\ln |f(x)|+c~~, ~f(x) \neq 0~,~c \in \Bbb R\]

مثال2:
أوجد تكامل التابع:
\[f(x)=\frac{2x}{x^2}\]
الحل:
\[\int\frac{2x}{x^2}~dx=\ln (x^2)+c~~,~c \in \Bbb R\]
مثال 3:
أوجد تكامل التابع:
\[f(x)=\frac{1}{x \ln x}\]
الحل:
\[\int\frac{1}{x \ln x}~dx=\int\frac{\frac{1}{x}}{\ln x}~dx=\ln (\ln x)+c~~,~c \in \Bbb R\]
حيث
\[(\ln x)’=\frac{1}{x}\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة

تكامل تابع القوة
( T:Kuvvet Fonksiyonu İntegralı )
(E:Integral of Power Function)

\[\int x^n~dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+c~~, n\in \Bbb Q, n \neq -1 ~,~c \in \Bbb R\]

مثال1:
\[\int x^3~dx=\frac{1}{4}\cdot x^{4}+c~~, ~c \in \Bbb R\]
مثال 2:
\[\int x^{-3}~dx=\frac{1}{-2}\cdot x^{-2}+c~~=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^2}+c~~=-\frac{1}{2x^2}+c~~, ~c \in \Bbb R\]
مثال 3:
\[\int \left( 2x^5+x^2\right) ~dx=\]
بتطبيق خواص التكامل نجد أن:
\[\int \left( 2x^5+x^2 \right) ~dx=2 \cdot \int x^5~dx+\int x^2~dx\]
\[=2 \cdot \frac{1}{6}\cdot x^{6}+\frac{1}{3}\cdot x^{3}+c\]
\[=\frac{1}{3}\cdot x^{6}+\frac{1}{3}\cdot x^{3}+c~~, ~c \in \Bbb R\]

\[\int \acute f (x) [f(x)]^n~dx=\frac{1}{n+1}\cdot [f(x)]^{n+1}+c~~, n\in \Bbb N ~,~c \in \Bbb R\]

مثال 4:
\[\int \left(\frac{1}{x}\right) \left(\ln x\right)^3~dx=\frac{1}{4}\cdot \left(\ln x\right)^{4}+c~~, ~c \in \Bbb R\]
حيث:
\[(\ln x)’=\frac{1}{x}\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد