تحليل 2

التكامل من الشكل \(\int e^{ax}\sin bx~dx~,~\int e^{ax}\cos bx~dx\)

هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
أولاً: من أجل التكامل:
\[\int e^{ax}\sin bx~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=e^{ax}~~,~~dv=\sin bx~dx
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[\int e^{ax}\cos bx~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=e^{ax}~~,~~dv=\cos bx~dx
}
$$

مثال: أوجد حل التكامل:
\[I=\int e^x\sin x~dx\]
الحل: نفرض أن:
\[u=e^x~~,~~dv=\sin x~dx\]
وبالتالي:
\[du=e^x~dx~~,~~v=-\cos x\]
أي أن:
\[I=\int e^x\sin x~dx=-e^x\cos x+\int e^x\cos x~dx\tag{1}\label{1}\]
لأيجاد التكامل الأخير نفرض أن:
\[I_2=\int e^x\cos x~dx\]
لإيجاد هذا التكامل نفرض أن:
\[u_1=e^x~~,~~dv_1=\cos x~dx\]
وبالتالي:
\[du_1=e^x~dx~~,~~v_1=\sin x\]
وبالتالي:
\[I_2=e^x\sin x-\int e^x\sin x~dx=e^x\sin x-I\tag{2}\label{2}\]
نعوض \(\eqref{2}\) في \(\eqref{1}\) نجد أن:
\[I=-e^x\cos x+e^x\sin x-I\]
أي أن:
\[I=-\frac 12e^x\cos x+\frac 12e^x\sin x+c\]
أي أن:
\[I=\frac 12e^x(\sin x-\cos x)+c\]
وهو حل التكامل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot e^{ax}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)
\(\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot \ln (ax)~dx\)

التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot \ln (ax)~dx\)

في هذا التكامل \(p(x)\) هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=\ln (ax)~~,~~dv=p(x)~dx
}
$$

مثال: أوجد حل التكامل:
\[\int x^2 \ln x~dx\]
الحل:
نفرض أن:
\[u=\ln x~~,~~dv=x^2~dx\]
وبالتالي:
\[du=\frac 1x~dx~~,~~v=\frac 13 x^3\]
وبالتالي:
\[\int x^2\ln x~dx=\frac 13 x^3\ln x-\frac 13\int x^3\frac 1x~dx\]
\[=\frac 13 x^3\ln x-\frac 13\int x^2~dx\]
\[=\frac 13 x^3\ln x-\frac 19 x^3+c\]

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)
التكامل من الشكل \(\int p(x)\cdot e^{ax}~dx\)
التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx\)
\(\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx\)