تحليل 2

التكاملات من الشكل \(\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx\)

في هذا التكامل \(p(x)\) هي كثيرة حدود من الشكل:
\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R\]
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
أولاً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=p(x)~~,~~dv=\sin(ax)~dx
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[\int p(x)\cdot \cos (ax)~dx\]
نفرض أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
u=p(x)~~,~~dv=\cos(ax)~dx
}
$$

مثال: أوجد حل التكامل:
\[\int x^2\sin x~dx\]
الحل: هذا التكامل يحل بطريقة التكامل بالتجزئة. نفرض أن:
\[u=x^2 \Rightarrow du=2x~dx\]
\[dv=\sin x~dx \Rightarrow v=-\cos x\]
وبالتالي:
\[\int x^2\sin x~dx=uv-\int v~du\]
\[=x^2(-\cos x)-\int (-\cos x) 2x~dx\]
\[=-x^2\cos x+2\int x \cos x~dx\]
لحل التكامل الأخير أيضاً نستخدم التكامل بالتجزئة:
نفرض أن
\[u_1=x \Rightarrow du_1=dx\]
\[dv_1=\cos x~dx \Rightarrow v_1=\sin x\]
وبالتالي:
\[\int x \cos x~dx=u_1v_1-\int v_1du_1=x \sin x-\int \sin x~dx\]
\[=x \sin x+\cos x+c\]
وبالتالي :
\[\int x^2\sin x~dx=-x^2\cos x+2\int x \cos x~dx\]
\[=-x^2\cos x+2(x \sin x+\cos x+c)\]
\[=-x^2\cos x+2x \sin x+2\cos x+2c\]
\[=(2-x^2)\cos x+2x \sin x+c_1\]
وهو حل التكامل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)

التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx\)

في حالة \(a \ge 0\):
\[\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx=\frac {A}{\sqrt a}\int \frac{x+\frac BA}{\sqrt{x^2+\frac ba x+\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {A}{2\sqrt a}\int \frac{2x+\frac {2B}{A}}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {A}{2\sqrt a}\int \frac{2x+\frac ba-\frac ba+\frac {2B}{A}}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {A}{2\sqrt a}\int \frac{2x+\frac ba}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac ca}}~dx\]
\[+\frac {A}{2\sqrt a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac ca}}\]
\[=\frac {A}{2\sqrt a}\int (2x+\frac ba)(x^2+\frac ba x+\frac ca)^{-\frac12}~dx\]
\[+\frac {A}{2\sqrt a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac ca}}\]
\[=\frac {A}{\sqrt a} (x^2+\frac ba x+\frac ca)^{\frac12}\]
\[+\frac {A}{2\sqrt a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}}\]

\[=\frac {A}{\sqrt a} (x^2+\frac ba x+\frac ca)^{\frac12}\]
\[+\frac {A}{2\sqrt a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt{{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}}\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=\frac {A}{\sqrt a} (x^2+\frac ba x+\frac ca)^{\frac12}\]
\[+\frac {A}{2\sqrt a}(-\frac ba+\frac {2B}{A})\int \frac{du}{\sqrt {u^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~dx~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx\)
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي نحصل على حل التكامل المطلوب.

في حالة \(a \le 0\):
\[\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx=\frac {-A}{\sqrt {-a}}\int \frac{-x-\frac BA}{\sqrt{-x^2-\frac ba x-\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {-A}{2\sqrt {-a}}\int \frac{-2x-\frac {2B}{A}}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {-A}{2\sqrt {-a}}\int \frac{-2x-\frac ba+\frac ba-\frac {2B}{A}}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac ca}}~dx\]
\[=\frac {-A}{2\sqrt {-a}}\int \frac{-2x-\frac ba}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac ca}}~dx\]
\[-\frac {A}{2\sqrt {-a}}(\frac ba-\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac ca}}\]
\[=\frac {-A}{2\sqrt {-a}}\int (-2x-\frac ba)(-x^2-\frac ba x-\frac ca)^{-\frac12}~dx\]
\[-\frac {A}{2\sqrt {-a}}(\frac ba-\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac ca}}\]
\[=\frac {-A}{\sqrt {-a}} (-x^2-\frac ba x-\frac ca)^{\frac12}\]
\[-\frac {A}{2\sqrt {-a}}(\frac ba-\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt {-x^2-\frac ba x-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca}}\]

\[=\frac {-A}{\sqrt {-a}} (-x^2-\frac ba x-\frac ca)^{\frac12}\]
\[-\frac {A}{2\sqrt {-a}}(\frac ba-\frac {2B}{A})\int \frac{dx}{\sqrt { \frac{b^2}{4a^2}+\frac ca-(x+\frac{b}{2a})^2} }\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=\frac {-A}{\sqrt {-a}} (-x^2-\frac ba x-\frac ca)^{\frac12}\]
\[-\frac {A}{2\sqrt {-a}}(\frac ba-\frac {2B}{A})\int \frac{du}{\sqrt {\frac{b^2}{4a^2}+\frac ca-u^2}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~dx~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx\)
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x+\frac{b}{2a}\]
وبالتالي نحصل على حل التكامل المطلوب.

مثال1: أوجد حل التكامل:
\[\int \frac{x+1}{\sqrt{x^2-x-2}}~dx=\frac 12\int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2-x-2}}~dx\]
\[=\frac 12\int \frac{2x-1+1+2}{\sqrt{x^2-x-2}}~dx=\frac 12\int \frac{2x-1+3}{\sqrt{x^2-x-2}}~dx\]
\[=\frac 12\int \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}~dx+\frac 32\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x-2}}\]
\[=\frac 12\int (2x-1)(x^2-x-2)^{-\frac12}~dx\]
\[+\frac 32\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-x+\frac 14-\frac 14-2}}\]
\[=(x^2-x-2)^{\frac 12}+\frac 32\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac 12)^2-\frac 94}}\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x+\frac 12\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=(x^2-x-2)^{\frac 12}+\frac 32\int \frac{du}{\sqrt{u^2-\frac 94}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~dx~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx\)
\[=(x^2-x-2)^{\frac 12}+\frac 32 \ln |u+\sqrt{u^2-\frac 94}|+c\]
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x+\frac12\]
وبالتالي:
\[=(x^2-x-2)^{\frac 12}+\frac 32 \ln |x+\frac12+\sqrt{(x+\frac12)^2-\frac 94}|+c\]
\[=(x^2-x-2)^{\frac 12}+\frac 32 \ln |x+\frac12+\sqrt{x^2+x-2}|+c\]
وهو الحل المطلوب.
مثال2: أوجد حل التكامل:
\[\int \frac{3x-1}{\sqrt{-x^2+x+1}}~dx= 3\int \frac{x-\frac 13}{\sqrt{-x^2+x+1}}~dx\]
\[=\frac {3}{-2}\int \frac{-2x+\frac 23}{\sqrt{-x^2+x+1}}~dx\]
\[=\frac {3}{-2}\int \frac{-2x+1-1+\frac 23}{\sqrt{-x^2+x+1}}~dx\]
\[=\frac {3}{-2}\int \frac{-2x+1}{\sqrt{-x^2+x+1}}~dx\]
\[+\frac {3}{-2}(-1+\frac 23)\int \frac{dx}{\sqrt{-x^2+x+1}}\]
\[=\frac {3}{-2}\int (-2x+1)(-x^2+x+1)^{-\frac 12}~dx\]
\[+\frac 12\int \frac{dx}{\sqrt{-(x^2-x-1)}}\]
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}\]
\[+\frac 12\int \frac{dx}{\sqrt{-(x^2-x+\frac 14-\frac 14-1)}}\]
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}\]
\[+\frac 12\int \frac{dx}{\sqrt{-((x-\frac 12)^2-\frac 54)}}\]
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}\]
\[+\frac 12\int \frac{dx}{\sqrt{\frac 54-(x-\frac 12)^2}}\]
لحل التكامل الاخير نستخدم طريقة التكامل بتغيير المتحول:
نفرض أن:
\[u=x-\frac 12\]
وبالتالي:
\[du=dx\]
وبالتالي:
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}+\frac 12\int \frac{du}{\sqrt{\frac 54-u^2}}\]
يمكن إيجاد التكامل الأخير حسب المقالة التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~dx~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}~dx\)
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}+\frac 12\arcsin \frac{u}{\frac{\sqrt 5}{2}}+c\]
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}+\frac 12\arcsin \frac{2u}{\sqrt 5}+c\]
للعودة إلى المتحول \(x\) نستخدم التحويل:
\[u=x-\frac12\]
وبالتالي:
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}+\frac 12\arcsin \frac{2(x-\frac12)}{\sqrt 5}+c\]
\[=-3(-x^2+x+1)^{\frac 12}+\frac 12\arcsin \frac{2x-1}{\sqrt 5}+c\]
وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
التكاملات من الشكل \(\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}\)
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل \(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\)
التكامل من الشكل \(\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx\)