جبر خطي

الفضاء الخطي الجزئي
(T: Alt Lineer Uzay)
(E: Linear Subspace)

ليكن \(X\) فضاء خطي على الحقل \(F\) مع عملتي الجمع والضرب الآتيتن:
1) عملية جمع عنصرين من \(X\) أي \(\forall u,v \in X: u+v \in X\).
2) عملية ضرب عنصر من \(X\) بعدد من الحقل \(F\) أي \(\forall u \in X;\forall \lambda \in F: \lambda. u \in X\)
وليكن \(X_1 \subseteq X\) عندئذٍ نقول أن \(X_1\) فضاء جزئي من الفضاء \(X\) إذا كانت المجموعة \(X_1\) فضاء خطي على الحقل \(F\) مع عملتي الجمع والضرب السابقتين.
ملاحظة 1: للبرهان على أن مجموعة \(X_1\) هي فضاء جزئي من الفضاء الخطي \(X\) يكفي أن نثبت أن عملية جمع عنصرين وعملية ضرب عنصر بعدد هما عمليتان مغلقتان في \(X_1\) أي يكفي البرهان على أن:
1) \(\forall u,v \in X_1: u+v \in X_1\)
2) \(\forall u \in X_1;\forall \lambda \in F: \lambda. u \in X_1\)
ملاحظة 2: ليكن كل من \(X_1\) و \(X_2\) فضاء خطي جزئي من الفضاء الخطي \(X\) عندئذٍ:
1) الفضاء \(X_1 \cap X_2\) فضاء خطي جزئي من \(X\) .
2) الفضاء \(X_1 \cup X_2\) ليس بالضرورة أن يكون فضاء خطي جزئي من \(X\) .

مقالات ذات صلة:
الفضاء الخطي أو الفضاء المتجهي
تعريف الحقل

الزمرة
(T: Grup)
(E: Group)

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية ولنعرف العملية \( (\cdot ) \) بالشكل الآتي:
\[ \cdot : X \times X \rightarrow X\]
\[ (a,b) \mapsto a.b \]
عندئذٍ نقول عن \( (X,\cdot )\) أنها زمرة (T: Grup) (E: Group) إذا تحققت الشروط الآتية:
(1) العملية تجميعية (T: Birleşmeli) (E:Associative) أي أن لكل \(c,a,b\) من \(X\) فإن:
$$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$
(2) يوجد عنصر حيادي (T: Etkisiz Eleman) (T: Birim Eleman) (E: Identity Element) (E: Neutral Element) في \(X\) أي أن
$$\exists e\in X: \forall a\in X:e \cdot a=a \cdot e=a$$
(3) يوجد لكل عنصر \(a\) من \(X\) نظير (T: Ters) (E:Inverse) أي أن
$$\forall a\in X: \exists b\in X: b \cdot a=a \cdot b=e$$
ونقول عن الزمرة أنها زمرة تبديلية (T: Abel Grubu) ( T: Abelyen Grup)( T: Değişmeli Grup) (E:Commutative) إذا تحقق الشرط:
$$\forall a,b \in X:a\cdot b=b\cdot a$$

خواص الزمرة:
(1) كل زمرة هي شبه زمرة.
(2) بما أن شبه الزمرة تحتوي على حيادي واحد على الأكثر فإن الزمرة تحتوي على حيادي وحيد.
(3) يوجد لكل عنصر \(a\) من الزمرة \(X\) عنصر نظير وحيد نرمز له بالرمز \(a^{-1}\) .
(4) \(\forall a \in X: (a^{-1})^{-1}=a\)
(5) \(\forall a,b \in X: (a \cdot b)^{-1}=(b)^{-1}\cdot (a)^{-1}\)

أمثلة:
1) إن الثنائية\((\Bbb R,+)\) زمرة تبديلية. الثنائية \((\Bbb R^{\ast},\times)\) أيضاً زمرة تبديلية.
2) إن الثنائية \((\Bbb Z,+)\) زمرة تبديلية.