جبر خطي

الفضاء الخطي أو الفضاء المتجهي
(T: Lineer Uzay) (T: Vektör Uzayı)
(E: Linear Space)(E: Vector Space)

لتكن لدينا مجموعة \(X\) وليكن لدينا حقل عددي \(F\) (مثلاً حقل الأعداد الحقيقية أو حقل الأعداد العقدية ) نعرف على المجموعة \(X\) عمليتين:
1) عملية جمع عنصرين من \(X\) أي \(\forall u,v \in X: u+v \in X\).
2) عملية ضرب عنصر من \(X\) بعدد من الحقل \(F\) أي \(\forall u \in X;\forall \lambda \in F: \lambda. u \in X\)
عندئذٍ نسمي المجموعة \(X\) فضاء خطي (T: Lineer Uzay) (E: Linear Space) أو فضاء متجهي (T: Vektör Uzayı) (E: Vector Space) على الحقل \(F\) إذا تحققت الخواص التالية:
1) عملية الجمع تبديلية (T: Değişmeli) (E:Commutative) في \(X\) أي أن: \(\forall u,v \in X: u+v=v+u\)
2) عملية الجمع تجميعية (T: Birleşmeli) (E: Associative) في \(X\) أي أن \(\forall u,v,w \in X: (u+v)+w=u+(v+w)\)
3) وجود عنصر حيادي (T: Etkisiz Eleman) (T: Birim Eleman) (E: Identity Element) (E: Neutral Element) بالنسبة لعملية الجمع نرمز له بالرمز \(0\) في \(X\) أي أن \(\forall u \in X \exists 0 \in X : u+0=0+u=u\).
4) وجود عنصر نظير (T:Ters) (E: Inverse) لكل عنصر \(u\) من \(X\) نرمز له بالرمز \(-u\) أي أن \(\forall u \in X \exists -u \in X : u+(-u)=(-u)+u=0\).
5) \(\forall u,v \in X,\forall \lambda \in F: \lambda .(u+v)=\lambda. u +\lambda. v\).
6) \(\forall u \in X ,\forall \lambda,\mu \in F:(\lambda + \mu).u=\lambda . u +\mu. u\).
7) \(\forall u \in X ,\forall \lambda,\mu \in F:(\lambda . \mu).u=\lambda (\mu .u) \).
8) \(\forall u \in X: 1. u=u \) حيث \(1\) هو العنصر الحيادي بالنسبة لعملية الضرب في الحقل العددي \(F\) .

الحقل
(T: Cisim)
(E:Field)

لتكن \(X\) مجموعة غير خالية ولتكن كل من \(\ast\) و \(\top\) عمليتين ثنائيتين على المجموعة \(X\). عندئذٍ إذا تحققت الخواص التالية:
1) \((X,\ast)\) زمرة تبديلية.
2)\((X\backslash \{0\},\top)\) زمرة تبديلية حيث \(0\) هو العنصر المحايد بالنسبة للعملية الثنائية \(\ast\) .
3) \(\forall a,b,c \in X: a\top (b\ast c)=(a\top b)\ast (a\top c)\)
وتسمى هذه الخاصة خاصة توزيع العملية \(\top\) على العملية \(\ast\) .
فإننا نسمي الثلاثية \((X,\ast,\top)\) حقلأ (T: Cisim) (E:Field).

أمثلة: إن مجموعة الأعداد الحقيقية \(\Bbb R\) مع عملتي الجمع والضرب تشكل حقلا \((\Bbb R,+,\times)\) يسمى حقل الأعداد الحقيقية كما أن مجموعة الاعداد العقدية \(\Bbb C\) مع عملتي جمع وضرب الأعداد العقدية حقلاً \((\Bbb C,+,\times)\) يسمى حقل الأعداد العقدية.