علاقة الترتيب (T: Sıralama Bağlantısı) (E: Order Relation)
لتكن لدينا المجموعة \(A\). ولتكن العلاقة \(R\) من \(A\) إلى \(A\) عندئذٍ نقول عن العلاقة \(R\) أنها علاقة ترتيب (T: Sıralama Bağlantısı) (E: Order Relation) إذا حققت الشروط التالية: 1) العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية (T: Yansıma Özelliği) (E: Reflexive) على \(A\) أي أن: \[\forall x \in A: (x,x) \in R\] 2) العلاقة \(R\) علاقة تخالفية (T: Antisimetri Özelliği ) (E: Antisymmetric) على \(A\) أي أن: \[ \forall x,y\in A:(x,y) \in R,(y,x) \in R \Rightarrow x=y\] 3) العلاقة \(R\) علاقة متعدية (T: Geçişme Özelliği) (T: Transitive) على \(A\) أي أن: \[\forall x,y,z \in A: (x,y) \in R,(y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R\]
المحتويات: 1- تعريف العلاقة 2- مثال 1 3- مثال 2 4- مثال 4
تعريف العلاقة لتكن لدينا المجموعتان \(A\) و \(B\). نسمي العلاقة \(R\) من \(A\) إلى \(B\) أي مجموعة جزئية من الجداء الديكارتي \(A \times B \) .
مثال 1: لتكن لدينا المجموعتان: \[A=\{1,2,3,4\}\] \[B=\{1,2\}\] إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(A\) و \(B\) هو: \[A \times B =\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_1=\{(1,1),(2,1),(3,1),(3,2)\}\] إن المجموعة \(R_1\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي \(R_1\) هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). لتكن لدينا المجموعة: \[R_2=\{(4,1),(3,1),(4,2)\}\] إن المجموعة \(R_2\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(B\) و \(A\) هو: \[B \times A =\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_3=\{(1,1),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)\}\] إن المجموعة \(R_3\) مجموعة جزئية من \(B \times A\) وبالتالي فهي علاقة من \(B\) إلى \(A\).
مثال 2: لتكن لدينا المجموعتان: \[A=\{a,b,c,d\}\] \[B=\{a,b\}\] إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(A\) و \(B\) هو: \[A \times B =\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_1=\{(b,b),(c,a),(d,b)\}\] إن المجموعة \(R_1\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي \(R_1\) هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). لتكن لدينا المجموعة: \[R_2=\{(a,a)\}\] إن المجموعة \(R_2\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(B\) و \(A\) هو: \[B \times A =\{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_3=\{(b,a),(b,b),(b,c),(b,d)\}\] إن المجموعة \(R_3\) مجموعة جزئية من \(B \times A\) وبالتالي فهي علاقة من \(B\) إلى \(A\).
مثال 3: لتكن لدينا المجموعتان: \[A=\{a,b,c,d\}\] \[B=\{1,2\}\] إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(A\) و \(B\) هو: \[A \times B =\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(d,1),(d,2)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_1=\{(b,2),(c,1),(d,2)\}\] إن المجموعة \(R_1\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي \(R_1\) هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). لتكن لدينا المجموعة: \[R_2=\{(a,1)\}\] إن المجموعة \(R_2\) مجموعة جزئية من \(A \times B\) وبالتالي هي علاقة من \(A\) إلى \(B\). إن الجداء الديكارتي للمجموعتين \(B\) و \(A\) هو: \[B \times A =\{(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d)\}\] لتكن لدينا المجموعة: \[R_3=\{(2,a),(2,b),(2,c),(2,d)\}\] إن المجموعة \(R_3\) مجموعة جزئية من \(B \times A\) وبالتالي فهي علاقة من \(B\) إلى \(A\).
