معادلات تفاضلية جزئية

المعادلة التفاضلية الجزئية
(E: Partial Differential Equation)
(T: Kısmi Diferansiyel Denklem)

لتكن لدينا دالة \(z=f(x,y)\) تابعة لمتغييرين مستقلين \(x\) و \(y\) عندئذٍ نسمي المعادلة التفاضلية من الشكل:
\[G\left(x,y,z,\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial {y}^2},\frac {{\partial}^2 z}{\partial x \partial y},\dots,\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n},\frac {{\partial}^n z}{\partial {y}^n} \right)=0\]
معادلة تفاضلية جزئية حيث:
\(\frac {\partial z}{\partial x}\) هو المشتق الجزئي من الدرجة الأولى للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\)
و \(\frac {{\partial}^2 z}{\partial {x}^2}\)المشتق الجزئي من الدرجة الثانية للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\)
و …
و \(\frac {{\partial}^n z}{\partial {x}^n}\)المشتق الجزئي من الدرجة \(n\) للدالة \(z\) بالنسبة لـ \(x\).

ملاحظة: قد لا تكون \(x\) أو \(y\) أو \(z\) ظاهرة في المعادلة التفاضلية الجزئية لكن على الأقل يجب أن يتواجد فيها مشتق واحد على الأقل.
ملاحظة: من الممكن أن تكون الدالة \(f\) تابعة لعدد \(m\) من المتغيرات المستقلة بالشكل الآتي:
\[z=f(x_1,x_2, \cdots, x_m)\]

أمثلة:
\[\frac{\partial z}{\partial x}+x+y=0\]
\[\frac{{\partial}^3 z}{\partial x^3}=0\]
\[{\left(\frac{{\partial}^3 z}{\partial x^3}\right)}^2+y^5=0\]

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية