معادلات تفاضلية عادية

المعادلة التفاضلية على الصورة \(y=f(\acute y)\)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الشكل:
\(y=f(\acute y) \)
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=f(p) \tag{*10}\label{*10}\]
2) نفاضل \(y\):
\[dy=\acute f(p)~dp\]
3)
\[x=\int dx+c=\int \frac{dy}{\frac{dy}{dx}}+c\]
\[x=\int \frac{dy}{\acute y}+c=\int \frac{\acute f(p)}{p}~dp+c\]
\[x=g(p,c)\tag{*11}\label{*11}\]
4) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*10}\) و \(\eqref {*11}\) :
\(y=f(p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*10}\)
\(x=g(p,c)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*11}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مثال: أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[y=\sqrt{\acute y}+2\]
الحل:
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[y=\sqrt p+2 \tag{*12}\label{*12}\]
2) نفاضل \(y\):
\[dy=\acute f(p)~dp=\frac{1}{2\sqrt p}~dp\]
3)
\[x=\int dx+c=\int \frac{dy}{\frac{dy}{dx}}+c\]
\[x=\int \frac{dy}{\acute y}+c=\int \frac{\acute f(p) }{p}~dp+c\]
\[x=\int \frac{\frac{1}{2\sqrt p}}{p}~dp+c=\frac12\int p^{-\frac 32}~dp\]
\[x=\frac12(-2)p^{-\frac12}+c\]
\[x=-\frac {1}{\sqrt p}+c \tag{*13}\label{*13}\]
4) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*10}\) و \(\eqref {*11}\) :
\(y=\sqrt p+2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*12}\)
\(x=-\frac {1}{\sqrt p}+c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*13}\)
ويمكن حذف الوسيط (البارامتر) \(p\) والحصول على الحل العام بدلالة \(x\) و \(y\) فقط بالشكل التالي:
\[\sqrt p=y-2\Rightarrow x=\frac{1}{2-y}+c\]
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
حل المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية من الشكل \(\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)
المعادلة التفاضلية التامة
المعادلة التفاضلية الخطية
معادلة برنولي التفاضلية
معادلة ريكاتي التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجات العليا
 المعادلة التفاضلية على الصورة \(a_n(x,y)(\acute y)^n+a_{n-1}(x,y)(\acute y)^{n-1}+\cdots +a_1 (x,y)\acute y+a_0(x,y)=0\)
المعادلة التفاضلية على الصورة \(x=F(y,\acute y)\)
المعادلة التفاضلية على الصورة \(y=F(x,\acute y)\)
المعادلة التفاضلية على الصورة \(x=f(\acute y)\)

المعادلة التفاضلية على الصورة \(x=f(\acute y)\)

لتكن لدينا المعادلة التفاضلية من الشكل:
\(x=f(\acute y) \)
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[x=f(p) \tag{*6}\label{*6}\]
2) نفاضل \(x\):
\[dx=\acute f(p)~dp\]
3)
\[y=\int \acute y~dx+c =\int p~dx+c\]
\[=\int p\acute f(p)~dp+c \]
\[y=g(p,c)\tag{*7}\label{*7}\]
4) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*6}\) و \(\eqref {*7}\) :
\(x=f(p) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*6}\)
\(y=g(p,c)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*7}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مثال: أوجد حل المعادلة التفاضلية التالية:
\[x=\acute y^2+1\]
الحل:
لحل هذه المعادلة نتبع الخطوات التالية:
1) نفرض أن \(\acute y=p\):
\[x=f(p)=p^2+1 \tag{*8}\label{*8}\]
2) نفاضل \(x\):
\[dx=\acute f(p)~dp=2p~dp\]
3)
\[y=\int \acute y~dx+c =\int p~dx+c\]
\[=\int p( 2p)~dp+c=2\int p^2~dp+c=\frac 23p^3+c \]
\[y=\frac 23p^3+c\tag{*9}\label{*9}\]
3) الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة هو جملة المعادلتين \(\eqref {*8}\) و \(\eqref {*9}\) :
\(x=p^2+1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eqref {*8}\)
\(y=\frac 23p^3+c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eqref {*9}\)
حيث \(c\) ثابت اختياري.

مقالات ذات صلة
المعادلة التفاضلية العادية
حل المعادلة التفاضلية العادية
رتبة ودرجة المعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص للمعادلة التفاضلية
المعادلة التفاضلية الجزئية
الصورة القياسية للمعادلة التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى
المعادلة التفاضلية من الشكل \(\frac {dy}{dx}=\frac {a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\)
المعادلة التفاضلية التامة
المعادلة التفاضلية الخطية
معادلة برنولي التفاضلية
معادلة ريكاتي التفاضلية
طرق حل المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى والدرجات العليا
 المعادلة التفاضلية على الصورة \(a_n(x,y)(\acute y)^n+a_{n-1}(x,y)(\acute y)^{n-1}+\cdots +a_1 (x,y)\acute y+a_0(x,y)=0\)
المعادلة التفاضلية على الصورة \(x=F(y,\acute y)\)
المعادلة التفاضلية على الصورة \(y=F(x,\acute y)\)