معادلات تكاملية

طريقة التقريبات المتتالية
(T: Ardaşık Yaklaşımlar Metodu)
(E: The method of Successive Approximations)

لتكن لدينا معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني التالية:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xK(x,t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية بطريقة التقريبات المتتالية نتبع الخطوات التالية:
1) نوجد الدوال \(\varphi_n (x)\) بالشكل التالي:
\[\varphi_n(x)=f(x)+\lambda \int_0^xK(x,t)\varphi_{n-1}(t)dt\]
2) إيجاد نهاية المتتالية \(\{\varphi_n (x)\}\) ويكون هو الحل المطلوب
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n (x)=\varphi (x)\]

مثال 1 : أوجد حل المعادلة التكاملية التالية بطريقة التقريبات المتتالية:
\[\varphi (x)=1+\int_0^x\varphi(t)dt\]
الحل:
1) نوجد الدوال \(\varphi_n (x)\) بالشكل التالي:
نعتبر أن \(\varphi_0 (x)=1\) ومنه نجد أن:
\[\varphi_1 (x)=1+\int_0^x\varphi_0(t)dt=1\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_1 (x)=1
}
$$
\[\varphi_2 (x)=1+\int_0^x\varphi_1(t)dt\]
\[\varphi_2 (x)=1+\int_0^xdt=1+x\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_2 (x)=1+x
}
$$
\[\varphi_3 (x)=1+\int_0^x\varphi_2(t)dt\]
\[=1+\int_0^x(1+t)dt=1+x+\frac12x^2\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_3 (x)=1+x+\frac{1}{2!}x^2
}
$$
وبالاستقراء الرياضي نستنتج أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
\varphi_n (x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}
}
$$
2) إيجاد نهاية المتتالية \(\{\varphi_n (x)\}\)
نعلم أن:
\[\sum_{n=0}^x\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=e^x\]
وبالتالي فإن نهاية المتتالية \(\{\varphi_n (x)\}\) هي الدالة \(e^x\) أي أن
\[\varphi (x)=e^x\]

مقالات ذات صلة:
معادلة  فولتيرا التكاملية من النوع الأول ومن النوع الثاني
طريقة النواة الحالة لحل المعادلة التكاملية من النوع الثاني

طريقة النواة الحالة
(T: Çözücü Çekirdek Yöntemi)
(E: The method of Resolvent Kernel)

لتكن لدينا معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الثاني التالية:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xK(x,t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية بطريقة النواة الحالة نتبع الخطوات التالية:
1) إيجاد النوى المتكررة بالشكل الآتي:
\[K_1(x,t)=K(x,t)\]
\[K_{n+1}(x,t)=\int_t^xK(x,u)K_n(u,t)du~~~~~(n=1,2,\cdots)\]
2) إيجاد النواة الحالة:
\[R(x,t,\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^nK_{n+1}(x,t)\]
3) وبالتالي حل المعادلة التكاملية المعطاة يكون بالشكل الآتي:
\[\varphi (x)=f(x)+ \lambda \int_0^xR(x,t,\lambda)f(t)dt\]

مثال 1: أوجد حل المعادلة التكاملية التالية بطريقة النواة الحالة:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xe^{x-t}\varphi(t)dt\]
الحل:
1) لنوجد النوى المتكررة. نلاحظ أن:
\(K_1(x,t)=K(x,t)=e^{x-t}\)
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_1(x,t)=e^{x-t}
}
$$
\(K_2(x,t)=\int_t^xK(x,u)K_1(u,t)du\)
\(K_2(x,t)=\int_t^xe^{x-u}e^{u-t}du\)
\(K_2(x,t)=\int_t^xe^{x-t}du=e^{x-t}(x-t)\)
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_2(x,t)=e^{x-t}(x-t)
}
$$
\(K_3(x,t)=\int_t^xK(x,u)K_2(u,t)du\)
\(K_3(x,t)=\int_t^xe^{x-u}e^{u-t}(u-t)du\)
\(K_3(x,t)=\int_t^xe^{x-t}(u-t)du\)
\(=\int_t^xe^{x-t}udu-\int_t^xe^{x-t}tdu\)
\(=e^{x-t}\int_t^xudu-e^{x-t}t\int_t^xdu\)
\(=e^{x-t}(\frac{x^2}{2}-\frac{t^2}{2})-e^{x-t}t(x-t)\)
\(=e^{x-t}\frac{(x^2-t^2-2tx+2t^2)}{2}\)
\(=e^{x-t}\frac{(x^2-2tx+t^2)}{2}=e^{x-t}\frac{(x-t)^2}{2}\)
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_3(x,t)=e^{x-t}\frac{(x-t)^2}{2}
}
$$
بنفس الطريقة نجد أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_4(x,t)=e^{x-t}\frac{(x-t)^3}{6}
}
$$
وبالاستقراء الرياضي نستنتج أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_n(x,t)=e^{x-t}\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}
}
$$
2) إيجاد النواة الحالة:
\[R(x,t,\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^ne^{x-t}\frac{(x-t)^n}{n!}\]
\[=e^{x-t}\sum_{n=0}^\infty\lambda^n\frac{(x-t)^n}{n!}\]
\[R(x,t,\lambda)=e^{x-t}\sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda^n(x-t)^n}{n!}\]
\[=e^{x-t}e^{\lambda(x-t)}=e^{(x-t)(\lambda+1)}\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
R(x,t,\lambda)=e^{(x-t)(\lambda+1)}
}
$$
3) حل المعادلة التكاملية المعطاة يكون بالشكل:
\[\varphi (x)=f(x)+ \lambda \int_0^xe^{(x-t)(\lambda+1)}f(t)dt\]
أي أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
\varphi (x)=f(x)+ \lambda \int_0^xe^{(x-t)(\lambda+1)}f(t)dt
}
$$

مثال 2: أوجد حل المعادلة التكاملية التالية بطريقة النواة الحالة:
\[\varphi (x)=x+\int_0^x(t-x)\varphi(t)dt\]
الحل:
نلاحظ أن:
\[f(x)=x, \lambda=1, K(x,t)=t-x\]
1) لنوجد النوى المتكررة. نلاحظ أن:
\[K_1(x,t)=K(x,t)=t-x\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_1(x,t)=t-x
}
$$
\[K_2(x,t)=\int_t^xK(x,u)K_1(u,t)du\]
\[K_2(x,t)=\int_t^x(u-x)(t-u)du\]
\[K_2(x,t)=\int_t^x(ut-u^2-xt+xu)du\]
\[K_2(x,t)=(t+x)\int_t^xudu-\int_t^xu^2du-xt\int_t^xdu\]
\[=\frac{t+x}{2}(x^2-t^2)-\frac13(x^3-t^3)-xt(x-t)\]
\[=\frac{3x^2t-3t^3+3x^3-3xt^2-2x^3+2t^3-6x^2t+6xt^2}{6}\]
\[=\frac{x^3-t^3-3x^2t+3xt^2}{6}=\frac{(x-t)^3}{3!}=-\frac{(t-x)^3}{3!}\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_2(x,t)=-\frac{(t-x)^3}{3!}
}
$$
بنفس الطريقة نجد:
\[K_3(x,t)=\int_t^xK(x,u)K_2(u,t)~du\]
\[K_3(x,t)=\int_t^x(u-x)\left(-\frac{{(t-u)}^3}{3!}\right)~du\]
\[K_3(x,t)=-\frac{1}{3!}\int_t^x(u-x){(t-u)}^3~du\]
\[K_3(x,t)=\frac{(t-x)^5}{5!}\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
K_3(x,t)=\frac{(t-x)^5}{5!}
}
$$


2) إيجاد النواة الحالة:
\[R(x,t,\lambda)=\sum_{n=0}^\infty\lambda^nK_{n+1}(x,t)\]
\[=\frac{t-x}{1}-\frac{(t-x)^3}{3!}+\frac{(t-x)^5}{5!}+\cdots\]
\[=\sin(t-x)\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
R(x,t,\lambda)=\sin(t-x)
}
$$
3) حل المعادلة التكاملية المعطاة يكون بالشكل:
\[\varphi (x)=x+ \int_0^x\sin(t-x)t~dt\]
لإيجاد هذا التكامل نستخدم طريقة التكامل بالتجزئة بالشكل الآتي:
\[\int_0^x\sin(t-x)t~dt\]
نفرض \(u=t\) وبالتالي \(du=dt\)
نفرض \(dv=\sin (t-x)~dt\) وبالتالي \(v=-\cos (t-x)\)
أي أن:
\[ \int_0^x\sin(t-x)t~dt=\left. uv\right\vert_0^x-\int _0^x v~du\]
\[ \int_0^x\sin(t-x)t~dt=\left. -t \cos(t-x)\right\vert_0^x+\int _0^x \cos(t-x)~dt\]
\[ \int_0^x\sin(t-x)t~dt=\left. -t \cos(t-x)\right\vert_0^x+\left. \sin(t-x)\right\vert_0^x\]
\[=(-x \cos (0)-0)+\sin(0)-\sin(-x)=-x+\sin x\]
أي أن:
\[\varphi (x)=x-x+\sin x=\sin x\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
\varphi (x)=\sin x
}
$$
وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
معادلة فولتيرا التكاملية من النوع الأول ومن النوع الثاني