تحليل 2 Archives

التكامل من الشكل $\int \frac{dx}{(1\pm x^2)^n}$

اترك تعليقاً / تحليل 2 / بواسطة statmath

التكامل من الشكل $\int \frac{dx}{(1\pm x^2)^n}$

أولاً: من أجل التكامل:
\[I_1(n)=\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضيف ونطرح المقدار للبسط $x^2$:
\[I_1(n)=\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}=\int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=I_1(n-1)-\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=I_1(n-1)-J_1\]
أي أن:
\[I_1(n)=I_1(n-1)-J_1 \tag{*44}\label{*44} \]
2) التكامل $J_1$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx=\int x\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx=\frac 12\frac{2x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\frac 12 (2x){(1+x^2)}^{-n}~dx\]
\[\Rightarrow v=\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}\]
وبالتالي فإن:
\[J_1=\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}\]
أي أن:
\[J_1=\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)}I_1(n-1)\tag{*45}\label{*45} \]
3) نعوض $\eqref{*45}$ في $\eqref{*44}$ نجد أن:
\[I_1(n)=I_1(n-1)-\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_1(n-1)\]
\[I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{x}{2(1-n)}\frac{1}{{(1+x^2)}^{n-1}}\]
أي أن:

$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{n-1}}
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[I_2(n)=\int \frac{dx}{(1-x^2)^n}\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضيف ونطرح المقدار للبسط $x^2$:
\[I_2(n)=\int\frac{dx}{(1-x^2)^n}=\int \frac{1-x^2+x^2}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=\int \frac{dx}{(1-x^2)^{n-1}}+\int\frac{x^2}{(1-x^2)^n}~dx\]
\[=I_2(n-1)+\int\frac{x^2}{(1-x^2)^n}~dx\]
\[=I_2(n-1)+J_2\]
أي أن:
\[I_2(n)=I_2(n-1)+J_1 \tag{*46}\label{*46} \]
2) التكامل $J_2$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{(1+x^2)^n}~dx=\int x\frac{x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{(1-x^2)^n}~dx=-\frac 12\frac{-2x}{(1+x^2)^n}~dx\]
\[=-\frac 12 (-2x){(1-x^2)}^{-n}~dx\]
\[\Rightarrow v=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{1}{{(1-x^2)}^{n-1}}\]
وبالتالي فإن:
\[J_2=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}\int \frac{dx}{(1-x^2)^{n-1}}\]
أي أن:
\[J_2=-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{(1-x^2)^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_2(n-1)\tag{*47}\label{*47} \]
3) نعوض $\eqref{*47}$ في $\eqref{*46}$ نجد أن:
\[I_2(n)=I_2(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)}I_2(n-1)\]
\[I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}\]
أي أن:

$$ \bbox[5px,border:2px solid green]
{
I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}
}
$$

مثال 1: أوجد حل التكامل:
\[I_1(3)=\int \frac{dx}{(1+x^2)^3}\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid red]
{
I_1(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_1(n-1)-\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{n-1}}
}
$$
وبالتالي:
\[I_1(3)=\frac{3-6}{2(-2)}I_1(2)-\frac{1}{2(-2)}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\]
\[I_1(3)=\frac{3}{4}I_1(2)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\tag{*48}\label{*48}\]
لحساب $I_1(2)$ نطبق نفس الدستور من أجل $n=2$:
\[I_1(2)=\frac{1}{2}I_1(1)+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\]
\[I_1(2)=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2}+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\]
\[I_1(2)=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\tag{*49}\label{*49}\]
نعوض $\eqref{*49}$ في $\eqref{*48}$ نجد أن:
\[I_1(3)=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2}\right)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}\]
\[I_1(3)=\frac{3}{8}\arctan x+\frac{3}{8}\frac{x}{1+x^2}+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1+x^2)}^{2}}+c\]
مثال 2: أوجد حل التكامل:
\[I_2(3)=\int \frac{dx}{(1-x^2)^3}\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid green]
{
I_2(n)=\frac{3-2n}{2(1-n)}I_2(n-1)+\frac{1}{2(1-n)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{n-1}}
}
$$
وبالتالي:
\[I_2(3)=\frac{3-6}{2(-2)}I_2(2)-\frac{1}{2(-2)}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\]
\[I_2(3)=\frac{3}{4}I_2(2)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\tag{*50}\label{*50}\]
لحساب $I_2(2)$ نطبق نفس الدستور من أجل $n=2$:
\[I_2(2)=\frac{1}{2}I_2(1)-\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1-x^2}+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{2}\left(\frac 12 \ln|\frac{1+x}{1-x}|\right)+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\]
\[I_2(2)=\frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\tag{*51}\label{*51}\]
نعوض $\eqref{*51}$ في $\eqref{*50}$ نجد أن:
\[I_2(3)=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{4}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{1}{2}\frac{x}{1-x^2}\right)+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}\]
\[I_2(3)=\frac{3}{16}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+\frac{3}{8}\frac{x}{1-x^2}+\frac{1}{4}\frac{x}{{(1-x^2)}^{2}}+c\]

تحليل 1

معيار المقارنة للمتسلسلات

Posted on يوليو 18, 2024 by statmath

معيار المقارنة للمتسلسلات(E: The Comparison Test)(T: Karşılaştırma Testi) لتكن لدينا المتسلسلتان:\[\…

تحليل 1

المعيار الصفري لتقارب متسلسلة

Posted on يوليو 18, 2024 by statmath

المعيار الصفري لتقارب متسلسلة لتكن لدينا المتسلسلة:\[\sum^\infty_{k=1}a_k\]إذا كان :\[\lim_{k \right…

تحليل 1

المتسلسلة الهندسية

Posted on يوليو 17, 2024 by statmath

المتسلسلة الهندسية(E: Geometric Series)(T: Geometrik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}…

تحليل 1

المتسلسلة الريمانية

Posted on يوليو 17, 2024 by statmath

المتسلسلة الريمانية(E: Harmonic Series)(T: Harmonik Seri ) وهي متسلسلة من الشكل:\[\sum^\infty_{k=1}\…

تحليل 1

العمليات على المتسلسلات

Posted on يوليو 17, 2024 by statmath

العمليات على المتسلسلات(E: Operations on Series)(T: Seriler Üzerinde İşlemler) لتكن لدينا المتسلسلتا…

التكامل من الشكل $\int \sqrt {a^2\pm x^2}~dx$

اترك تعليقاً / تحليل 2 / بواسطة statmath

التكامل من الشكل $\int \sqrt {a^2\pm x^2}~dx$

أولاً: من أجل التكامل:
\[I_1=\int \sqrt {a^2+x^2}~dx\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضرب البسط والمقام بالمقدار $\sqrt {a^2+x^2}$:
\[I_1=\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\int \sqrt {a^2+x^2}\frac{\sqrt {a^2+x^2}}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2+x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx+\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=a^2\int\frac{dx}{\sqrt {a^2+x^2}}+\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+J_1\]
أي أن:
\[I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+J_1\tag{*40}\label{*40}\]
2) التكامل $J_1$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_1=\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx=\int x\frac{x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx=\frac 12\frac{2x}{\sqrt {a^2+x^2}}~dx\]
\[=\frac 12 (2x){(a^2+x^2)}^{-\frac12}~dx\]
\[\Rightarrow v={(a^2+x^2)}^{-\frac12+1}=\sqrt{a^2+x^2}\]
وبالتالي فإن:
\[J_1=x\sqrt{a^2+x^2}-\int \sqrt{a^2+x^2}~dx\]
أي أن:
\[J_1=x\sqrt{a^2+x^2}-I_1 \tag{*41}\label{*41} \]
3) نعوض $\eqref{*41}$ في $\eqref{*40}$ نجد أن:
\[I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+x\sqrt{a^2+x^2}-I_1 \]
أي أن:
\[2I_1=a^2\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+x\sqrt{a^2+x^2} \]
\[I_1=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2} \]
وبالتالي:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2}+c
}
$$
ثانياً: من أجل التكامل:
\[I_2=\int \sqrt {a^2-x^2}~dx\]
نتبع الخطوات التالية:
1) نضرب البسط والمقام بالمقدار $\sqrt {a^2-x^2}$:
\[I_2=\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\int \sqrt {a^2-x^2}\frac{\sqrt {a^2-x^2}}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2-x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=\int\frac{a^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx-\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=a^2\int\frac{dx}{\sqrt {a^2-x^2}}-\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=a^2\arcsin \frac xa-J_2\]
أي أن:
\[I_2=a^2\arcsin \frac xa-J_2\tag{*42}\label{*42}\]
2) التكامل $J_2$ يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
\[J_2=\int\frac{x^2}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx=\int x\frac{x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[u=x~\Rightarrow du=dx\]
\[dv=\frac{x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx=-\frac 12\frac{-2x}{\sqrt {a^2-x^2}}~dx\]
\[=-\frac 12 (-2x){(a^2-x^2)}^{-\frac12}~dx\]
\[\Rightarrow v=-{(a^2-x^2)}^{-\frac12+1}=-\sqrt{a^2-x^2}\]
وبالتالي فإن:
\[J_2=-x\sqrt{a^2-x^2}+\int \sqrt{a^2-x^2}~dx\]
أي أن:
\[J_2=-x\sqrt{a^2-x^2}+I_2 \tag{*43}\label{*43} \]
3) نعوض $\eqref{*43}$ في $\eqref{*42}$ نجد أن:
\[I_2=a^2\arcsin \frac xa+x\sqrt{a^2-x^2}-I_2\]
أي أن:
\[2I_2=a^2\arcsin \frac xa+x\sqrt{a^2-x^2} \]
\[I_2=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2} \]
وبالتالي:
$$ \bbox[5px,border:2px solid orange]
{
\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+c
}
$$

مثال 1: أوجد حل التكامل:
\[I=\int \sqrt {4+x^2}~dx\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid blue]
{
\int \sqrt {a^2+x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{a^2+x^2}|+\frac x2\sqrt{a^2+x^2}+c
}
$$
وبالتالي:
\[I=\int \sqrt {4+x^2}~dx=2\ln |x+\sqrt{4+x^2}|+\frac x2\sqrt{4+x^2}+c\]
مثال 2: أوجد حل التكامل:
\[I=\int \sqrt {4-x^2}~dx\]
الحل:
$$ \bbox[5px,border:2px solid orange]
{
\int \sqrt {a^2-x^2}~dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac xa+\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+c
}
$$

وبالتالي:
\[I=\int \sqrt {4-x^2}~dx=2\arcsin \frac x2+\frac x2\sqrt{4-x^2}+c\]