تحليل 2

التكاملات من الشكل $\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \arccos(ax)~dx$
$\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot arc\cot(ax)~dx$

في هذا التكامل $p(x)$ هي كثيرة حدود من الشكل:
$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R$$
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
أولاً: من أجل التكامل:
$$\int p(x)\cdot \arcsin(ax)~dx$$
نفرض أن:
$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { u=\arcsin(ax)~~,~~dv=p(x)~dx }$$
ثانياً: من أجل التكامل:
$$\int p(x)\cdot \arccos (ax)~dx$$
نفرض أن:
$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { u=\arccos (ax)~~,~~dv=p(x)~dx }$$
ثالثاً: من أجل التكامل:
$$\int p(x)\cdot \arctan(ax)~dx$$
نفرض أن:
$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { u=\arctan(ax)~~,~~dv=p(x)~dx }$$
رابعاً: من أجل التكامل:
$$\int p(x)\cdot \arccos (ax)~dx$$
نفرض أن:
$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { u=arc\cot(ax)~~,~~dv=p(x)~dx }$$

مثال1: أوجد حل التكامل التالي:
$$\int x \arctan x~dx$$
الحل:
نفرض أن:
$$u=\arctan x~~,~~dv=x~dx$$
وبالتالي:
$$du=\frac{dx}{1+x^2}~,~v=\frac 12 x^2$$
أي أن:
$$\int x \arctan x~dx=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int \frac{x^2}{1+x^2}~dx$$
$$=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int \frac{x^2+1-1}{1+x^2}~dx$$
$$=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12\int (1-\frac{1}{1+x^2})~dx$$
$$=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12x+\frac 12\int \frac{1}{1+x^2}~dx$$
$$=\frac 12 x^2 \arctan x-\frac 12x+\frac 12\arctan x +c$$
$$=\frac 12 (x^2+1) \arctan x-\frac 12x+c$$
مثال2: أوجد حل التكامل التالي:
$$\int x^2 \arcsin x~dx$$
الحل:
نفرض أن:
$$u=\arcsin x~~,~~dv=x^2~dx$$
وبالتالي:
$$du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}~,~v=\frac 13 x^3$$
أي أن:
$$\int x^2 \arcsin x~dx=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}~dx$$
$$=\frac 13 x^3 \arcsin x+\frac 13\int \frac{x(-1+1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx$$
$$=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$$
$$+\frac 13\int \frac{x(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}~dx$$
$$=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13\int x(1-x^2)^\frac {-1}{2}~dx$$
$$+\frac 13\int x(1-x^2)^\frac 12~dx$$
التكاملات الاخيرة نحلها بطريقة تغيير المتحول بالشكل التالي:
$$t=1-x^2 \Rightarrow dt=-2xdx$$
$$\int x(1-x^2)^\frac {-1}{2}~dx=-\frac 12 \int t^\frac {-1}{2}~dt$$
$$=-t^\frac 12=-(1-x^2)^\frac 12$$
$$\int x(1-x^2)^\frac 12~dx=-\frac 12 \int t^\frac 12~dt$$
$$=-\frac 13 t^\frac 32=-\frac 13 (1-x^2)^\frac 32$$
وبالتالي:
$$\int x^2 \arcsin x~dx=\frac 13 x^3 \arcsin x-\frac 13(-(1-x^2)^\frac 12 )$$
$$+\frac 13(-\frac 13 (1-x^2)^\frac 32)+c$$
$$=\frac 13 x^3 \arcsin x+\frac 13(1-x^2)^\frac 12$$
$$-\frac 19 (1-x^2)^\frac 32+c$$

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$
التكاملات من الشكل $\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}$
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل $\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}$
التكامل من الشكل $\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx$
التكامل من الشكل $\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx$
التكاملات من الشكل $\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx$
التكامل من الشكل $\int p(x)\cdot e^{ax}~dx$

التكامل من الشكل $\int p(x)\cdot e^{ax}~dx$

في هذا التكامل $p(x)$ هي كثيرة حدود من الشكل:
$$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0~,~a_n,a_{n-1},\cdots,a_1,a_0\in \Bbb R$$
هذا التكامل يحل عن طريق التكامل بالتجزئة بالشكل التالي:
$$\bbox[5px,border:2px solid blue] { u=p(x)~~,~~dv=e^{ax}~dx }$$

مثال1: أوجد حل التكامل:
$$\int x^3e^x~dx$$
الحل:
لحل هذا التكامل نستخدم طريقة التكامل بالتجزئة بالشكل الآتي:
$$u=x^3 \Rightarrow du=3x^2~dx$$
$$dv=e^x~dx\Rightarrow v=e^x$$
وبالتالي:
$$\int x^3e^x~dx=uv-\int vdu$$
$$=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx$$
أي أن:
$$\int x^3e^x~dx=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx \tag {e1}\label {e1}$$
لحل التكامل الأخير أيضاً نستخدم طريقة التكامل بالتجزئة:
$$u_1=x^2 \Rightarrow du_1=2x~dx$$
$$dv_1=e^x~dx\Rightarrow v_1=e^x$$
وبالتالي:
$$\int x^2e^x~dx=u_1v_1-\int v_1du_1$$
$$=x^2e^x-2\int xe^x~dx$$
أي أن:
$$\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2\int xe^x~dx \tag {e2}\label {e2}$$
أيضاً لحل التكامل الأخير نستخدم التكامل بالتجزئة:
$$u_2=x\Rightarrow du_2=dx$$
$$dv_2=e^x~dx\Rightarrow v_2=e^x$$
وبالتالي:
$$\int xe^x~dx=u_2v_2-\int v_2du_2$$
$$=xe^x-\int e^x~dx=xe^x-e^x+c$$
أي أن:
$$\int xe^x~dx=xe^x-e^x+c \tag {e3}\label {e3}$$
نعوض $\eqref {e3}$ في $\eqref {e2}$ نجد:
$$\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2(xe^x-e^x+c)$$
$$=x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c$$
أي أن:
$$\int x^2e^x~dx=x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c \tag {e4}\label {e4}$$
نعوض $\eqref {e4}$ في $\eqref {e1}$ نجد:
$$\int x^3e^x~dx=x^3e^x-3\int x^2e^x~dx$$
$$=x^3e^x-3(x^2e^x-2xe^x+2e^x-2c)$$
$$=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+6c$$
$$=x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x+c_1$$
أي أن:
$$\int x^3e^x~dx=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+c_1$$
وهو حل التكامل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
التابع الأصلي والتكامل غير المحدد
خواص التكامل غير المحدد
تكامل تابع القوة
تكامل التابع الكسري
تكامل التابع الأسي
تكامل التابع الجذري
تكامل التوابع المثلثية
تكامل التوابع القطعية
التكاملات من الشكل: $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}~,~\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$
التكاملات من الشكل $\int \frac{dx}{a^2+ x^2}~,~\int \frac{dx}{a^2-x^2}$
التكامل بطريقة تغيير المتحول
التكامل بالتجزئة
التكامل من الشكل $\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}$
التكامل من الشكل $\int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c}~dx$
التكامل من الشكل $\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}}~dx$
التكاملات من الشكل $\int p(x)\cdot \sin(ax)~dx~,~\int p(x)\cdot \cos(ax)~dx$