تحليل عقدي

الشكل الأسي للعدد العقدي
(T: Karmaşık Sayıların Üstel Gösterimi)
(E: Exponential Representation of Complex Numbers)

ليكن لدينا العدد العقدي
\[Z=x+iy\]
ولتكن \(|Z|\) طويلة العدد العقدي و \(arg Z\) سعة هذا العدد العقدي عندئذٍ وجدنا أنه يمكن كتابة العدد العقدي \(|Z|\) بالشكل المثلثي بالشكل التالي :
\[Z=r \left( \cos \theta +i \sin \theta\right)\]
وبحسب علاقة أولر (T: Euler Formülü) (E: Euler Formula):
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
e^{i\theta}= \cos \theta+i \sin \theta
}
$$
نجد أن:
\[Z=r \left( \cos \theta+i \sin \theta\right)\]
أي أن:
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
Z=re^{i\theta}
}
$$
وهو الشكل الأسي للعدد العقدي \(Z\) .  

مثال: أوجد الشكل الأسي للعدد العقدي:
\[Z=1+1i\]
الحل:
\[r=|z|=\sqrt {x^2+y^2}=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2\]
\[argZ=\arctan (\frac{y}{x})=\arctan (\frac11)=\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\]
وبالتالي:
\[Z=re^{i\theta}=\sqrt 2 e^\frac{\pi}{4}\]
وهو الشكل الأسي للعدد العقدي \(Z=1+1i\)

مقالات ذات صلة:
مجموعة الأعداد العقدية
الشكل الديكارتي للعدد العقدي
المعنى الهندسي للعدد العقدي
مرافق العدد العقدي
طويلة العدد العقدي
سعة العدد العقدي
الشكل المثلثي للعدد العقدي

الشكل المثلثي للعدد العقدي
(T: Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi)
(T: Karmaşık Sayıların Trigomnometrik Gösterimi)
(E: Trigonometric Representation of Complex Numbers)

ليكن لدينا العدد العقدي
\[Z=x+iy\]
ولتكن \(|Z|\) طويلة العدد العقدي و \(arg Z\) سعة هذا العدد العقدي عندئذٍ نلاحظ من الصورة المرافقة أن:
\[\cos (arg Z) =\frac {x}{|Z|}\Rightarrow x=|Z| \cos (arg Z)\]
\[\sin (arg Z) =\frac {y}{|Z|}\Rightarrow y=|Z| \sin (arg Z)\]
وبالتالي:
\[Z=x+iy=|Z| \cos (arg Z)+i(|Z| \sin (arg Z)\]
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
Z=|Z| \left( \cos (arg Z)+i \sin (arg Z)\right)
}
$$
$$ \bbox[5px,border:2px solid fuchsia]
{
Z=r \left( \cos \theta +i \sin \theta\right)
}
$$
حيث:
\[r=|Z|~~,~~\theta=arg Z\]
وهو الشكل المثلثي للعدد العقدي \(Z\) .  

مثال: أوجد الشكل المثلثي للعدد العقدي:
\[Z=1+1i\]
الحل:
\[|z|=\sqrt {x^2+y^2}=\sqrt {1^2+1^2}=\sqrt 2\]
\[argZ=\arctan (\frac{y}{x})=\arctan (\frac11)=\arctan (1)=\frac{\pi}{4}\]
وبالتالي:
\[Z=|Z| \left( \cos (arg Z)+i \sin (arg Z)\right)\]
\[=\sqrt 2 \left( \cos (\frac{\pi}{4})+i \sin (\frac{\pi}{4})\right)\]
\[=\sqrt 2 \left( \cos (\frac{1}{\sqrt 2})+i \sin (\frac{1}{\sqrt 2})\right)\]
وهو الشكل المثلثي للعدد العقدي \(Z=1+1i\)

مقالات ذات صلة:
مجموعة الأعداد العقدية
الشكل الديكارتي للعدد العقدي
المعنى الهندسي للعدد العقدي
مرافق العدد العقدي
طويلة العدد العقدي
سعة العدد العقدي