جبر مجرد

المجموعة
(T: Küme)
(E: Set)

المجموعة هي عبارة عن عناصر تشترك بصفة معينة.
نرمز للمجموعة عادةً برموز كبيرة مثل:
\[A~,~B~,~C~,~\cdots\]
ونرمز لعناصرها برموز صغيرة:
\[a~,~b~,~c~,~\cdots\]
طرق تمثيل المجموعة:
يمكن التعبير عن مجموعة ما عن طريق كتابة عناصرها كما يلي:
\[A=\{a_1,a_2,~\cdots~,a_n\}\]
أو يمكن التعبير عنها عن طريق كتابة الصفة المشتركة أو الصفات المشتركة بين عناصر المجموعة:
\[B=\{x~:~1 \le x \le 4 , x \in \Bbb N\}\]
أي أن:
\[B=\{1,2,3,4\}\]
المجموعة الخالية (E: Empty Set) (E: Null Set) (T: Boş Küme):
هي المجموعة التي لا تحتوي على أي عنصر ونرمز لها بالرمز \(\emptyset\) أو \(\{\}\).
ملاحظة: المجموعة الخالية محتواة في أي مجموعة.
المجموعة الشاملة (E: Universal Set) (T: Evrensel Küme):
هي أكبر مجموعة تحتوي المجموعات الجزئية أي أن أي مجموعة جزئية محتواة في هذه المجموعة ونرمز لها بالرمز \(U\).
مثل مجموعة كل الأعداد أو مجموعة كل المخلوقات.

أمثلة:
من الأمثلة على المجموعات:
الأعداد الطبيعية \(\Bbb N\)
الأعداد الصحيحة \(\Bbb Z\)
الأعداد العادية \(\Bbb Q\)
الأعداد الحقيقية \(\Bbb R\)

مقالات ذات صلة:
العمليات على المجموعات
الجداء الديكارتي
تعريف العلاقة
علاقة الترتيب
علاقة التكافؤ

علاقة التكافؤ
(T: Denklik Bağlantısı)
(E: Equivalence Relation)

لتكن لدينا المجموعة \(A\). ولتكن العلاقة \(R\) من \(A\) إلى \(A\) عندئذٍ نقول عن العلاقة \(R\) أنها علاقة تكافؤ (T: Denklik Bağlantısı) (E: Equivalence Relation) إذا حققت الشروط التالية:
1) العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية (T: Yansıma Özelliği) (E: Reflexive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x \in A: (x,x) \in R\]
2) العلاقة \(R\) علاقة تناظرية (T: Simetri Özelliği ) (E: Symmetric) على \(A\) أي أن:
\[ \forall x,y\in A:(x,y) \in R \Rightarrow (y,x) \in R\]
3) العلاقة \(R\) علاقة متعدية (T: Geçişme Özelliği) (T: Transitive) على \(A\) أي أن:
\[\forall x,y,z \in A: (x,y) \in R,(y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R\]

مثال: لتكن لدينا المجموعة \(A=\{a,b,c,d\}\) . ولتكن لدينا العلاقة:
\[R=\{(a,a), (b,b), (c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(a,c), (c,a)\}\]
أثبت أن \(R\) علاقة تكافؤ على \(A\) .
الحل: 1) لنثبت أن \(R\) علاقة انعكاسية: نلاحظ أن:
\[(a,a), (b,b), (c,c),(d,d) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\).
2) لنثبت أن \(R\) علاقة تناظرية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,a) \in R\]
\[(b,c),(c,b) \in R\]
\[(a,c),(c,a) \in R\]
وبالتالي العلاقة \(R\) علاقة انعكاسية على \(A\) .
3) لنثبت أن \(R\) علاقة متعدية: نلاحظ أن:
\[(a,b),(b,c),(a,c) \in R\]
\[(b,c), (c,a), (b,a) \in R\]
وبالتالي \(R\) علاقة متعدية على \(A\) .
بما أن \(R\) علاقة انعكاسية ومتناظرة ومتعدية فهي علاقة تكافؤ.

مقالات ذات صلة:
علاقة الترتيب
تعريف العلاقة
الجداء الديكارتي