معادلات تكاملية

حل المعادلة التكاملية من الشكل \(\varphi (x)=f(x)+\int_0^x\varphi(x-t)\varphi(t)dt\)

لتكن لدينا المعادلة التكاملية من الشكل:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^x\varphi(x-t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية نتبع الخطوات التالية:
1) نطبق تحويل لابلاس لطرفي المعادلة التكاملية السابقة:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{\int_0^x\varphi(x-t)\varphi(t)dt\}\]
2) حسب تعريف الالتفاف نجد”
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{\varphi(x)\ast \varphi(x)\}\]
3) بتطبيق العلاقة بين الالتفاف وتحويل لابلاس نجد:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{\varphi(x)\} \cdot \mathfrak{L} \{\varphi(x)\}\]
\[\Phi (s)=F(s)+\lambda\cdot\Phi(s) \cdot \Phi(s)\]
\[\Phi (s)=F(s)+\lambda\cdot{\Phi(s)}^2\]
4) نحل المعادلة الأخيرة بالنسبة لـ \(\Phi (s)\)
\[\lambda\cdot{\Phi(s)}^2-\Phi (s)+F(s)=0\]
وهي معادلة من الدرجة الثانية بالنسبة لـ \(\Phi (s)\) نحلها عن طريق الـ \(\triangle\) بالشكل الآتي:
\(a=\lambda ~,~ b=-1~,~c=F(s)\)
\(\triangle=b^2-4 a\cdot c=1-4\lambda F(s)\)
وبالتالي:
\[\Phi (s)=\frac{-b\pm\sqrt{\triangle}}{2\cdot a}\]
\[\Phi (s)=\frac{1\pm\sqrt{1-4\lambda F(s)}}{2\cdot \lambda}\]
5) نطبق تحويل لابلاس العكسي لطرفي المعادلة الأخيرة:
\[ {\mathfrak{L}}^{-1}\{\Phi(s)\}={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{1\pm\sqrt{1-4\lambda F(s)}}{2\cdot \lambda}\}\]
أي أن:
\[ \varphi (x)={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{1\pm\sqrt{1-4\lambda F(s)}}{2\cdot \lambda}\}\]
وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
معادلة  فولتيرا التكاملية من النوع الأول ومن النوع الثاني
طريقة النواة الحالة لحل المعادلة التكاملية من النوع الثاني
طريقة التقريبات المتتالية لحل المعادلات التكاملية من النوع الثاني
حل المعادلة التكاملية من الشكل \(\varphi (x)=f(x)+\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\)

حل المعادلة التكاملية من الشكل \(\varphi (x)=f(x)+\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\)

لتكن لدينا المعادلة التكاملية من الشكل:
\[\varphi (x)=f(x)+\lambda\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\]
لإيجاد حل هذه المعادلة التكاملية نتبع الخطوات التالية:
1) نطبق تحويل لابلاس لطرفي المعادلة التكاملية السابقة:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{\int_0^xK(x-t)\varphi(t)dt\}\]
2) حسب تعريف الالتفاف نجد”
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\ast \varphi(x)\}\]
3) بتطبيق العلاقة بين الالتفاف وتحويل لابلاس نجد:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{f(x)\}+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \mathfrak{L} \{\varphi(x)\}\]
\[\Phi (s)=F(s)+\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \Phi(s)\]
4) نحل المعادلة الأخيرة بالنسبة لـ \(\Phi (s)\)
\[\Phi (s)-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\} \cdot \Phi(s)=F(s)\]
\[\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right] \cdot \Phi(s)=F(s)\]
\[ \Phi(s)=\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\]
5) نطبق تحويل لابلاس العكسي لطرفي المعادلة الأخيرة:
\[ {\mathfrak{L}}^{-1}\{\Phi(s)\}={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\}\]
أي أن:
\[ \varphi (x)={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{F(s)}{\left[1-\lambda\cdot\mathfrak{L} \{K(x)\}\right]}\}\]
وهو الحل المطلوب.

مثال : أوجد حل المعادلة التكاملية التالية:
\[\varphi (x)=\cos x+2\int_0^x\sin (x-t)\varphi(t)dt\]
الحل:
1) نطبق تحويل لابلاس لطرفي المعادلة التكاملية السابقة
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot \mathfrak{L} \{\int_0^x\sin (x-t)\varphi(t)dt\}\]
2) حسب تعريف الالتفاف نجد”
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot\mathfrak{L} \{\sin (x) \ast \varphi(x)\}\]
3) بتطبيق العلاقة بين الالتفاف وتحويل لابلاس نجد:
\[\mathfrak{L} \{\varphi (x)\}=\mathfrak{L} \{\cos x\}+2\cdot\mathfrak{L} \{\sin (x)\} \cdot \mathfrak{L} \{\varphi(x)\}\]
باستخدام جدول تحويل لابلاس:
\[\Phi (s)=\frac{s}{s^2+1}+\frac{2}{s^2+1} \cdot \Phi(s)\]
4) نحل المعادلة الأخيرة بالنسبة لـ \(\Phi (s)\) :
\[\Phi (s)-\frac{2}{s^2+1}\cdot \Phi(s)=\frac{s}{s^2+1}\]
\[\left[1-\frac{2}{s^2+1}\right] \cdot \Phi(s)=\frac{s}{s^2+1}\]
\[ \Phi(s)=\frac{\frac{s}{s^2+1}}{\left[1-\frac{2}{s^2+1}\right]}\]
\[\Phi(s)=\frac{\frac{s}{s^2+1}}{\left[\frac{s^2-1}{s^2+1}\right]}=\frac{s}{s^2-1}\]
5) نطبق تحويل لابلاس العكسي لطرفي المعادلة الأخيرة:
\[ {\mathfrak{L}}^{-1}\{\Phi(s)\}={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{s}{s^2-1}\}\]
باستخدام جدول تحويل لابلاس العكسي:
\[ \varphi (x)={\mathfrak{L}}^{-1}\{\frac{s}{s^2-1}\}=\cosh x\]
وهو الحل المطلوب.

مقالات ذات صلة:
معادلة  فولتيرا التكاملية من النوع الأول ومن النوع الثاني
طريقة النواة الحالة لحل المعادلة التكاملية من النوع الثاني
طريقة التقريبات المتتالية لحل المعادلات التكاملية من النوع الثاني